UN POCO DE HISTORIA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. 

Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades 

                                                                            

distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida. 

Jean Le Rond d´Alembert

La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783) publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o más variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.

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CONTENIDO

En este curso  se dará una revisión rápida a algunos conceptos importantes del cálculo en varias variables, que se requieren para el trabajo de optimización. Dos de ellos  de mucha importancia: el concepto del Jacobiano de una función real y el de la matriz Hessiana de una función real. El Jacobiano es la generalización del concepto de primera derivada ya visto en cálculo I  pero en una variable, mientras que el de matriz Hessiana corresponde a la generalización de la segunda derivada parcial también en una variable. Al final de este resumen de conceptos viene un resultado teórico sobre el desarrollo de Taylor de una función en varias variables. Nuestro objetivo en el curso es se relacionen con situaciones que van enfrentar en el campo de la Ingeniería civil.

Calculo de Funciones de varias Variables

Gráficas y funciones

derivadas Parciales

Optimizar 

Integrales Multiplicas

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CONCEPTOS BASICOS

PLANO

En geometría, un plano es objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la recta.

Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que posee un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas.
• Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

PROPIEDADES

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ³, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).

• Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.
• Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo.
• Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.
• Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.
• Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
• Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.

Ecuación del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x₁, y₁, z₁)

Vector u = (a₁, b₁, c₁)

Vector v = (a₂, b₂, c₂)

Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

• Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
• Planos paralelos: si tienen la misma direción los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
• Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Distancia de un punto a un plano

Para un plano cualquiera  y un punto cualquiera  no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P₁ y el plano Π es:

De lo anterior se deduce que el punto P₁ pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados, esto es cuando , entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

APLICACIÓN CON LAS CIENCIAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

En esta sección estudiaremos varias aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía, dentro de las cuales incluiremos el costo marginal, análisis marginal, la superficie de demanda, las funciones de producción, el teorema de euler, demanda marginal, elasticidad parcial de la demanda, productividad marginal.

a)    COSTO MARGINAL.- El costo marginal por unidad es la razón (instantánea) de cambio del costo total con respecto a la producción, esto es:

Costo Marginal = derivada del costo total

Si la función de costo de producir las cantidades x e y de dos bienes esta dado por: c = Q(x,y), entonces las derivadas parcial de c son las funciones de costo marginal, así:

NOTA.- En la mayor parte de los problemas económicos los costos marginales son positivos.

Ejemplo:

En la función de costo de producción dos artículos x e y es C=Q(x,y)=x²y²-3xy+y+8, determinar el costo marginal con respecto a x, y el costo marginal con respecto a y.

Desarrollo

Esto quiere decir, si y se mantiene constante 4, al producir una unidad adicional de x, agregara 84 unidades, la producción de una unidad adicional de y, aumentara 64 unidades monetarias al costo total.

b)    ANÁLISIS MARGINAL.- El término “análisis marginal” en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de sus variables (similar al caso de las funciones de una variable).

Ejemplo:

Supongamos que la producción diaria Q de una fabrica depende de la cantidad k de capital invertido (medido en unidades de 1000 dólares) en la fábrica y equipamiento, y también del tamaño L de la fuerza de trabajo (medida en horas – trabajador).

En economía las derivadas parciales dQ/dk y dQ/dL se conoce como los productos marginales del capital y del trabajo respectivamente. De interpretaciones económicas de esos dos productos marginales.

Desarrollo

dQ/dL = el producto marginal del trabajo que es el ritmo al que cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un nivel fijo k de capital invertido, por lo tanto dQ/dL es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el capital invertido se deja fijo y el trabajo se aumenta en una hora-trabajador.

En forma similar, dQ/dk = producto marginal del capital es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el tamaño de la fuerza de trabajo se deja fija y el capital invertido se aumenta en 1000 dólares.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES A LA FÍSICA MATEMÁTICA

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:

Ecuación de Difusión del Calor:

Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de onda:

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de Laplace:

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico.

Ecuación de Poisson:

Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea.

PROGRAMAS UTILIZADOS PAR LA GRAFICAS

Winplot

Tamaño:  1,025 MB

Plataforma:  Win 95/98/ME/NT/2000/XP

http://math.exeter.edu/rparris

Software gratuito de la colección de Peanut, desarrollado por Richard Parris de la Phillips Exeter Academy.

Descripción

Se trata probablemente del programa más completo en la actualidad para el estudio de funciones, de curvas en el plano y en el espacio y de superficies.

Puede trabajar en 2D y en 3D.

En 2D permite trabajar las curvas definidas de forma explícita, implícita, en paramétricas y en coordenadas polares. Se pueden definir funciones definidas a trozos.

Permite a través de la ventana inventario ver simultáneamente el aspecto algebraico (fórmula, dominio, derivada...) y el gráfico.

Dada una función nos dice los ceros, los extremos, dibuja la función derivada y calcula la integral definida en un intervalo, dibuja integral indefinida, calcula la longitud del arco de curva, el volumen del sólido de revolución sobre la recta que se fije, dibuja la superficie de revolución... también nos proporciona directamente una tabla de valores de la función.

Si definimos dos funciones nos da su intersección y nos ofrece la posibilidad de realizar las operaciones habituales con ellas, dibujándola gráfica obtenida.

Permite calcular el área encerrada entre dos curvas, el volumen del sólido de revolución generado al rotar.

La utilización de parámetros permite el estudio de las características globales de familias de funciones de forma ágil.

Se pueden anclar textos explicativos asociados a las curvas y cuenta con precisas herramientas de zoom y de desplazamiento de la ventana por las distintas regiones de la gráfica.

También se puede trabajar directamente con puntos aislados u obtenidos de una lista elaborada con un tratamiento de texto u hoja de cálculo, con segmentos definiendo sus extremos y con rectas introduciendo los coeficientes de su ecuación general. Y calcula puntos de corte entre rectas.

Cuenta con una aplicación didáctica interesante para el estudio de la función cuadrática y es la de encontrar la ecuación de parábolas generadas aleatoriamente.

Para los alumnos de bachillerato cuenta con la opción de trabajo en 3D para la representación de rectas, curvas, planos y superficies.

Los planos se introducen mediante un punto y el vector normal.

Las ecuaciones de las superficies se pueden introducir de cinco formas distintas:

-          Explícita

-          Implícita

-          Paramétricas

-          Coordenadas cilíndricas

-          Coordenadas esféricas

Tiene las mismas prestaciones que para el estudio de curvas en 2D

Valoración didáctica

Es una excelente herramienta para el estudio de geometría analítica y sobre todo de funciones. Su versatilidad permite realizar estudios de las propiedades globales y locales de las funciones estudiadas en la ESO y los bachilleratos liberando al alumno y al profesor de la pesada tarea de representar en la pizarra gráficas a partir de tablas de valores.

Se puede utilizar tanto en el aula de informática para trabajo autónomo de los alumnos de todo un grupo en equipos como en el aula ordinaria utilizando una pizarra electrónica o un simple cañón de proyección.

Su utilización permite al profesor desviar el objetivo principal hasta ahora de que el alumno sepa representar curvas cada vez más complejas valiéndose primero de tablas y después de técnicas analíticas (puntos de corte con los ejes, extremos, intervalos decrecimiento, concavidad, puntos de inflexión..), hacia un enfoque más general de asociar propiedades de las curvas a sus fórmulas algebraicas, de asociar gráficas a fenómenos, objetos y enunciados, y a visualizar y descubrir conceptos, propiedades y aplicaciones del análisis de una forma ágil e intuitiva.

El reducido tamaño de la aplicación 1,3 MB y de los ficheros de aplicaciones que se pueden generar, 4 KB, cada uno, y el hecho de que pueda funcionar sin necesidad de instalación en el disco duro hace posible su utilización incluso con disquetes independientes lo que le hace fácilmente transportable y aplicable en cualquier equipo. 

Metodología

Se puede plantear tres posibilidades de uso del programa:

• El trabajo con toda la clase en el aula de informática con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prácticas guiadas o investigaciones y comprobaciones autónomas.

• El uso como pizarra electrónica en la clase ordinaria por parte del profesor o de los alumnos para poner de manifiesto resultados y propiedades, mostrar tipos de funciones y realizar comprobaciones.

• El uso individual y en el domicilio del alumno como herramienta de estudio, de comprobación y de repaso o refuerzo.

 VÍDEO DE COMO GRAFICAR