DERIVADA PARCIAL

DERIVADAS PARCIALES

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
\frac{ \partial f }{ \partial x } = \partial_xf = f'_{x}
Donde \scriptstyle \partial es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:
A = f\left(x,y,z,...\right)
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función
EJEMPLO 1

  • Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula
V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}
Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:
\frac{ \partial V}{\partial r}(r, h) = \frac{ 2r h \pi }{3}, \qquad \frac{ \partial V}{\partial h}(r, h) = \frac{ r^2 \pi }{3}
  • Otro ejemplo, dada la función F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}  tal que:
F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y\,
la derivada parcial de F respecto de x es:
\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = 9x^2y + 4xy^2
mientras que con respecto de y es:
\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7

NOTACIÓN
Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
  • Derivadas parciales de primer orden:
\frac{\part f}{\part x} = f'_x = \part_x f
Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:
\frac{\part^2 f}{\part x^2} = f''_{xx} = \part_{xx} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y^2} = f''_{yy} = \part_{yy} f,
Derivadas cruzadas de segundo orden:
\frac{\part^2 f}{\part x\part y} = f''_{yx} = \part_{xy} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y\part x} = f''_{xy} = \part_{yx} f,


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